Large-x Real-Analytic Inequality (x ≥ 5000) for Explicit Chebyshev ψ Bound
This standalone file proves explicit_rhs_le_seven_eighths_of_five_thousand_le, showing that
for all x ≥ 5000, the explicit upper bound from
abs_psi_sub_self_le_weighted_riemannVonMangoldt_six_neg_one_fourth with parameters:
a_rvM = 16 / 5, C = 11 / 5, D = 0, A = 1, B = 85,
h = (7 / 20) * Real.sqrt x * (Real.log x) ^ 2,
T = (3 / 2) * Real.sqrt x / Real.log x,
satisfies the side conditions 1 ≤ x - h, 0 < h, 6 ≤ T and is bounded above by
(7 / 8) * Real.sqrt x * (Real.log x) ^ 2.
@[ expose ] public section open Real namespace ConjectureMachines.Semantics.Riemann.ExplicitLarge
For x ≥ 5000, 851 / 100 ≤ Real.log x (via 2 ^ 86 ≤ 5000 ^ 7).
lemma log_ge_851_div_100 { x : ℝ } ( hx : 5000 ≤ x ) :
( 851 / 100 : ℝ ) ≤ Real.log x := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x ⊢ 851 / 100 ≤ log x
have hpow : ( 2 : ℝ ) ^ ( 86 : ℕ ) ≤ x ^ ( 7 : ℕ ) := by
have h1 : ( 2 : ℝ ) ^ ( 86 : ℕ ) ≤ ( 5000 : ℝ ) ^ ( 7 : ℕ ) := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x ⊢ 851 / 100 ≤ log x norm_num x : ℝ hx : 5000 ≤ x h1 : 2 ^ 86 ≤ 5000 ^ 7 ⊢ 2 ^ 86 ≤ x ^ 7
have h2 : ( 5000 : ℝ ) ^ ( 7 : ℕ ) ≤ x ^ ( 7 : ℕ ) := pow_le_pow_left₀ ( by x : ℝ hx : 5000 ≤ x h1 : 2 ^ 86 ≤ 5000 ^ 7 ⊢ 0 ≤ 5000 norm_num All goals completed! 🐙 ) hx 7 x : ℝ hx : 5000 ≤ x h1 : 2 ^ 86 ≤ 5000 ^ 7 h2 : 5000 ^ 7 ≤ x ^ 7 ⊢ 2 ^ 86 ≤ x ^ 7
exact h1 . trans h2 x : ℝ hx : 5000 ≤ x hpow : 2 ^ 86 ≤ x ^ 7 ⊢ 851 / 100 ≤ log x
have hlog : Real.log ( ( 2 : ℝ ) ^ ( 86 : ℕ ) ) ≤ Real.log ( x ^ ( 7 : ℕ ) ) :=
Real.log_le_log ( by x : ℝ hx : 5000 ≤ x hpow : 2 ^ 86 ≤ x ^ 7 ⊢ 0 < 2 ^ 86 positivity All goals completed! 🐙 ) hpow x : ℝ hx : 5000 ≤ x hpow : 2 ^ 86 ≤ x ^ 7 hlog : log ( 2 ^ 86 ) ≤ log ( x ^ 7 ) ⊢ 851 / 100 ≤ log x
rw [ Real.log_pow , x : ℝ hx : 5000 ≤ x hpow : 2 ^ 86 ≤ x ^ 7 hlog : ↑ 86 * log 2 ≤ log ( x ^ 7 ) ⊢ 851 / 100 ≤ log x Real.log_pow x : ℝ hx : 5000 ≤ x hpow : 2 ^ 86 ≤ x ^ 7 hlog : ↑ 86 * log 2 ≤ ↑ 7 * log x ⊢ 851 / 100 ≤ log x ] at hlog x : ℝ hx : 5000 ≤ x hpow : 2 ^ 86 ≤ x ^ 7 hlog : ↑ 86 * log 2 ≤ ↑ 7 * log x ⊢ 851 / 100 ≤ log x
have hlog2 := Real.log_two_gt_d9 x : ℝ hx : 5000 ≤ x hpow : 2 ^ 86 ≤ x ^ 7 hlog : ↑ 86 * log 2 ≤ ↑ 7 * log x hlog2 : 0.6931471803 < log 2 ⊢ 851 / 100 ≤ log x
push_cast at hlog x : ℝ hx : 5000 ≤ x hpow : 2 ^ 86 ≤ x ^ 7 hlog : 86 * log 2 ≤ 7 * log x hlog2 : 0.6931471803 < log 2 ⊢ 851 / 100 ≤ log x
linarith All goals completed! 🐙
For x ≥ 5000, 70 ≤ Real.sqrt x.
lemma sqrt_ge_seventy { x : ℝ } ( hx : 5000 ≤ x ) :
( 70 : ℝ ) ≤ Real.sqrt x := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x ⊢ 70 ≤ √ x
have h70 : ( 70 : ℝ ) ^ 2 ≤ x := by norm_num x : ℝ hx : 5000 ≤ x ⊢ 4900 ≤ x ; linarith x : ℝ hx : 5000 ≤ x h70 : 70 ^ 2 ≤ x ⊢ 70 ≤ √ x
have hsqrt := Real.sqrt_le_sqrt h70 x : ℝ hx : 5000 ≤ x h70 : 70 ^ 2 ≤ x hsqrt : √ ( 70 ^ 2 ) ≤ √ x ⊢ 70 ≤ √ x
rwa [ Real.sqrt_sq ( by x : ℝ hx : 5000 ≤ x h70 : 70 ^ 2 ≤ x hsqrt : √ ( 70 ^ 2 ) ≤ √ x ⊢ 0 ≤ 70 norm_num All goals completed! 🐙 ) ] at hsqrt
For v ≥ 851 / 400, (39 / 10) * v ≤ Real.exp v via the degree-6 Taylor lower bound.
lemma exp_ge_thirty_nine_tenths_mul { v : ℝ } ( hv : ( 851 / 400 : ℝ ) ≤ v ) :
( 39 / 10 : ℝ ) * v ≤ Real.exp v := by v : ℝ hv : 851 / 400 ≤ v ⊢ 39 / 10 * v ≤ rexp v
have hv_nonneg : 0 ≤ v := by linarith v : ℝ hv : 851 / 400 ≤ v hv_nonneg : 0 ≤ v ⊢ 39 / 10 * v ≤ rexp v
have h_sum := Real.sum_le_exp_of_nonneg hv_nonneg 7 v : ℝ hv : 851 / 400 ≤ v hv_nonneg : 0 ≤ v h_sum : ∑ i ∈ Finset.range 7 , v ^ i / ↑ i . factorial ≤ rexp v ⊢ 39 / 10 * v ≤ rexp v
simp only [ Finset.sum_range_succ , Finset.range_zero , Finset.sum_empty , Nat.factorial ,
Nat.cast_one , Nat.cast_mul , pow_zero , pow_one , zero_add ] at h_sum v : ℝ hv : 851 / 400 ≤ v hv_nonneg : 0 ≤ v h_sum : 1 / 1 + v / ( 1 * 1 ) + v ^ 2 / ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) + v ^ 3 / ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) +
v ^ 4 / ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) +
v ^ 5 / ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) +
v ^ 6 / ( ↑ ( Nat.succ 5 ) * ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) ) ≤
rexp v ⊢ 39 / 10 * v ≤ rexp v
have h_amgm : 0 ≤ ( v / 2 - 1 ) ^ 2 := sq_nonneg ( v / 2 - 1 ) v : ℝ hv : 851 / 400 ≤ v hv_nonneg : 0 ≤ v h_sum : 1 / 1 + v / ( 1 * 1 ) + v ^ 2 / ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) + v ^ 3 / ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) +
v ^ 4 / ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) +
v ^ 5 / ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) +
v ^ 6 / ( ↑ ( Nat.succ 5 ) * ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) ) ≤
rexp v h_amgm : 0 ≤ ( v / 2 - 1 ) ^ 2 ⊢ 39 / 10 * v ≤ rexp v
have h_v2 : ( 851 / 400 : ℝ ) ^ 2 ≤ v ^ 2 := pow_le_pow_left₀ ( by v : ℝ hv : 851 / 400 ≤ v hv_nonneg : 0 ≤ v h_sum : 1 / 1 + v / ( 1 * 1 ) + v ^ 2 / ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) + v ^ 3 / ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) +
v ^ 4 / ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) +
v ^ 5 / ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) +
v ^ 6 / ( ↑ ( Nat.succ 5 ) * ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) ) ≤
rexp v h_amgm : 0 ≤ ( v / 2 - 1 ) ^ 2 ⊢ 0 ≤ 851 / 400 norm_num All goals completed! 🐙 ) hv 2 v : ℝ hv : 851 / 400 ≤ v hv_nonneg : 0 ≤ v h_sum : 1 / 1 + v / ( 1 * 1 ) + v ^ 2 / ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) + v ^ 3 / ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) +
v ^ 4 / ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) +
v ^ 5 / ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) +
v ^ 6 / ( ↑ ( Nat.succ 5 ) * ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) ) ≤
rexp v h_amgm : 0 ≤ ( v / 2 - 1 ) ^ 2 h_v2 : ( 851 / 400 ) ^ 2 ≤ v ^ 2 ⊢ 39 / 10 * v ≤ rexp v
have h_v3 : ( 851 / 400 : ℝ ) ^ 3 ≤ v ^ 3 := pow_le_pow_left₀ ( by v : ℝ hv : 851 / 400 ≤ v hv_nonneg : 0 ≤ v h_sum : 1 / 1 + v / ( 1 * 1 ) + v ^ 2 / ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) + v ^ 3 / ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) +
v ^ 4 / ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) +
v ^ 5 / ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) +
v ^ 6 / ( ↑ ( Nat.succ 5 ) * ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) ) ≤
rexp v h_amgm : 0 ≤ ( v / 2 - 1 ) ^ 2 h_v2 : ( 851 / 400 ) ^ 2 ≤ v ^ 2 ⊢ 0 ≤ 851 / 400 norm_num All goals completed! 🐙 ) hv 3 v : ℝ hv : 851 / 400 ≤ v hv_nonneg : 0 ≤ v h_sum : 1 / 1 + v / ( 1 * 1 ) + v ^ 2 / ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) + v ^ 3 / ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) +
v ^ 4 / ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) +
v ^ 5 / ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) +
v ^ 6 / ( ↑ ( Nat.succ 5 ) * ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) ) ≤
rexp v h_amgm : 0 ≤ ( v / 2 - 1 ) ^ 2 h_v2 : ( 851 / 400 ) ^ 2 ≤ v ^ 2 h_v3 : ( 851 / 400 ) ^ 3 ≤ v ^ 3 ⊢ 39 / 10 * v ≤ rexp v
have h_v4 : ( 851 / 400 : ℝ ) ^ 4 ≤ v ^ 4 := pow_le_pow_left₀ ( by v : ℝ hv : 851 / 400 ≤ v hv_nonneg : 0 ≤ v h_sum : 1 / 1 + v / ( 1 * 1 ) + v ^ 2 / ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) + v ^ 3 / ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) +
v ^ 4 / ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) +
v ^ 5 / ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) +
v ^ 6 / ( ↑ ( Nat.succ 5 ) * ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) ) ≤
rexp v h_amgm : 0 ≤ ( v / 2 - 1 ) ^ 2 h_v2 : ( 851 / 400 ) ^ 2 ≤ v ^ 2 h_v3 : ( 851 / 400 ) ^ 3 ≤ v ^ 3 ⊢ 0 ≤ 851 / 400 norm_num All goals completed! 🐙 ) hv 4 v : ℝ hv : 851 / 400 ≤ v hv_nonneg : 0 ≤ v h_sum : 1 / 1 + v / ( 1 * 1 ) + v ^ 2 / ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) + v ^ 3 / ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) +
v ^ 4 / ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) +
v ^ 5 / ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) +
v ^ 6 / ( ↑ ( Nat.succ 5 ) * ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) ) ≤
rexp v h_amgm : 0 ≤ ( v / 2 - 1 ) ^ 2 h_v2 : ( 851 / 400 ) ^ 2 ≤ v ^ 2 h_v3 : ( 851 / 400 ) ^ 3 ≤ v ^ 3 h_v4 : ( 851 / 400 ) ^ 4 ≤ v ^ 4 ⊢ 39 / 10 * v ≤ rexp v
have h_v5 : ( 851 / 400 : ℝ ) ^ 5 ≤ v ^ 5 := pow_le_pow_left₀ ( by v : ℝ hv : 851 / 400 ≤ v hv_nonneg : 0 ≤ v h_sum : 1 / 1 + v / ( 1 * 1 ) + v ^ 2 / ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) + v ^ 3 / ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) +
v ^ 4 / ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) +
v ^ 5 / ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) +
v ^ 6 / ( ↑ ( Nat.succ 5 ) * ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) ) ≤
rexp v h_amgm : 0 ≤ ( v / 2 - 1 ) ^ 2 h_v2 : ( 851 / 400 ) ^ 2 ≤ v ^ 2 h_v3 : ( 851 / 400 ) ^ 3 ≤ v ^ 3 h_v4 : ( 851 / 400 ) ^ 4 ≤ v ^ 4 ⊢ 0 ≤ 851 / 400 norm_num All goals completed! 🐙 ) hv 5 v : ℝ hv : 851 / 400 ≤ v hv_nonneg : 0 ≤ v h_sum : 1 / 1 + v / ( 1 * 1 ) + v ^ 2 / ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) + v ^ 3 / ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) +
v ^ 4 / ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) +
v ^ 5 / ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) +
v ^ 6 / ( ↑ ( Nat.succ 5 ) * ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) ) ≤
rexp v h_amgm : 0 ≤ ( v / 2 - 1 ) ^ 2 h_v2 : ( 851 / 400 ) ^ 2 ≤ v ^ 2 h_v3 : ( 851 / 400 ) ^ 3 ≤ v ^ 3 h_v4 : ( 851 / 400 ) ^ 4 ≤ v ^ 4 h_v5 : ( 851 / 400 ) ^ 5 ≤ v ^ 5 ⊢ 39 / 10 * v ≤ rexp v
have h_mono :
( 39 / 10 : ℝ ) ≤ 2 + v / 4 + v ^ 2 / 6 + v ^ 3 / 24 + v ^ 4 / 120 + v ^ 5 / 720 := by
linarith v : ℝ hv : 851 / 400 ≤ v hv_nonneg : 0 ≤ v h_sum : 1 / 1 + v / ( 1 * 1 ) + v ^ 2 / ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) + v ^ 3 / ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) +
v ^ 4 / ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) +
v ^ 5 / ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) +
v ^ 6 / ( ↑ ( Nat.succ 5 ) * ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) ) ≤
rexp v h_amgm : 0 ≤ ( v / 2 - 1 ) ^ 2 h_v2 : ( 851 / 400 ) ^ 2 ≤ v ^ 2 h_v3 : ( 851 / 400 ) ^ 3 ≤ v ^ 3 h_v4 : ( 851 / 400 ) ^ 4 ≤ v ^ 4 h_v5 : ( 851 / 400 ) ^ 5 ≤ v ^ 5 h_mono : 39 / 10 ≤ 2 + v / 4 + v ^ 2 / 6 + v ^ 3 / 24 + v ^ 4 / 120 + v ^ 5 / 720 ⊢ 39 / 10 * v ≤ rexp v
have h_mul :
( 39 / 10 : ℝ ) * v ≤
v * ( 2 + v / 4 + v ^ 2 / 6 + v ^ 3 / 24 + v ^ 4 / 120 + v ^ 5 / 720 ) := by
nlinarith v : ℝ hv : 851 / 400 ≤ v hv_nonneg : 0 ≤ v h_sum : 1 / 1 + v / ( 1 * 1 ) + v ^ 2 / ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) + v ^ 3 / ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) +
v ^ 4 / ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) +
v ^ 5 / ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) +
v ^ 6 / ( ↑ ( Nat.succ 5 ) * ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) ) ≤
rexp v h_amgm : 0 ≤ ( v / 2 - 1 ) ^ 2 h_v2 : ( 851 / 400 ) ^ 2 ≤ v ^ 2 h_v3 : ( 851 / 400 ) ^ 3 ≤ v ^ 3 h_v4 : ( 851 / 400 ) ^ 4 ≤ v ^ 4 h_v5 : ( 851 / 400 ) ^ 5 ≤ v ^ 5 h_mono : 39 / 10 ≤ 2 + v / 4 + v ^ 2 / 6 + v ^ 3 / 24 + v ^ 4 / 120 + v ^ 5 / 720 h_mul : 39 / 10 * v ≤ v * ( 2 + v / 4 + v ^ 2 / 6 + v ^ 3 / 24 + v ^ 4 / 120 + v ^ 5 / 720 ) ⊢ 39 / 10 * v ≤ rexp v
have h_id :
1 + v + v ^ 2 / 2 + v ^ 3 / 6 + v ^ 4 / 24 + v ^ 5 / 120 + v ^ 6 / 720 =
( v / 2 - 1 ) ^ 2 +
v * ( 2 + v / 4 + v ^ 2 / 6 + v ^ 3 / 24 + v ^ 4 / 120 + v ^ 5 / 720 ) := by
ring v : ℝ hv : 851 / 400 ≤ v hv_nonneg : 0 ≤ v h_sum : 1 / 1 + v / ( 1 * 1 ) + v ^ 2 / ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) + v ^ 3 / ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) +
v ^ 4 / ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) +
v ^ 5 / ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) +
v ^ 6 / ( ↑ ( Nat.succ 5 ) * ( ↑ ( Nat.succ 4 ) * ( ↑ ( Nat.succ 3 ) * ( ↑ ( Nat.succ 2 ) * ( ↑ ( Nat.succ 1 ) * ( 1 * 1 ) ) ) ) ) ) ≤
rexp v h_amgm : 0 ≤ ( v / 2 - 1 ) ^ 2 h_v2 : ( 851 / 400 ) ^ 2 ≤ v ^ 2 h_v3 : ( 851 / 400 ) ^ 3 ≤ v ^ 3 h_v4 : ( 851 / 400 ) ^ 4 ≤ v ^ 4 h_v5 : ( 851 / 400 ) ^ 5 ≤ v ^ 5 h_mono : 39 / 10 ≤ 2 + v / 4 + v ^ 2 / 6 + v ^ 3 / 24 + v ^ 4 / 120 + v ^ 5 / 720 h_mul : 39 / 10 * v ≤ v * ( 2 + v / 4 + v ^ 2 / 6 + v ^ 3 / 24 + v ^ 4 / 120 + v ^ 5 / 720 ) h_id : 1 + v + v ^ 2 / 2 + v ^ 3 / 6 + v ^ 4 / 24 + v ^ 5 / 120 + v ^ 6 / 720 =
( v / 2 - 1 ) ^ 2 + v * ( 2 + v / 4 + v ^ 2 / 6 + v ^ 3 / 24 + v ^ 4 / 120 + v ^ 5 / 720 ) ⊢ 39 / 10 * v ≤ rexp v
linarith All goals completed! 🐙
For x ≥ 5000, (Real.log x) ^ 2 ≤ (20 / 19) * Real.sqrt x.
lemma sq_log_le_twenty_nineteenths_sqrt { x : ℝ } ( hx : 5000 ≤ x ) :
( Real.log x ) ^ 2 ≤ ( 20 / 19 : ℝ ) * Real.sqrt x := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x ⊢ log x ^ 2 ≤ 20 / 19 * √ x
have hL : ( 851 / 100 : ℝ ) ≤ Real.log x := log_ge_851_div_100 hx x : ℝ hx : 5000 ≤ x hL : 851 / 100 ≤ log x ⊢ log x ^ 2 ≤ 20 / 19 * √ x
have hv : ( 851 / 400 : ℝ ) ≤ Real.log x / 4 := by linarith x : ℝ hx : 5000 ≤ x hL : 851 / 100 ≤ log x hv : 851 / 400 ≤ log x / 4 ⊢ log x ^ 2 ≤ 20 / 19 * √ x
have hexp := exp_ge_thirty_nine_tenths_mul hv x : ℝ hx : 5000 ≤ x hL : 851 / 100 ≤ log x hv : 851 / 400 ≤ log x / 4 hexp : 39 / 10 * ( log x / 4 ) ≤ rexp ( log x / 4 ) ⊢ log x ^ 2 ≤ 20 / 19 * √ x
have h_exp_sq : ( Real.exp ( Real.log x / 4 ) ) ^ 2 = Real.sqrt x := by
rw [ sq , x : ℝ hx : 5000 ≤ x hL : 851 / 100 ≤ log x hv : 851 / 400 ≤ log x / 4 hexp : 39 / 10 * ( log x / 4 ) ≤ rexp ( log x / 4 ) ⊢ rexp ( log x / 4 ) * rexp ( log x / 4 ) = √ x ← Real.exp_add x : ℝ hx : 5000 ≤ x hL : 851 / 100 ≤ log x hv : 851 / 400 ≤ log x / 4 hexp : 39 / 10 * ( log x / 4 ) ≤ rexp ( log x / 4 ) ⊢ rexp ( log x / 4 + log x / 4 ) = √ x ] x : ℝ hx : 5000 ≤ x hL : 851 / 100 ≤ log x hv : 851 / 400 ≤ log x / 4 hexp : 39 / 10 * ( log x / 4 ) ≤ rexp ( log x / 4 ) ⊢ rexp ( log x / 4 + log x / 4 ) = √ x
have h_half : Real.log x / 4 + Real.log x / 4 = Real.log ( Real.sqrt x ) := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x ⊢ log x ^ 2 ≤ 20 / 19 * √ x
rw [ Real.log_sqrt ( by x : ℝ hx : 5000 ≤ x hL : 851 / 100 ≤ log x hv : 851 / 400 ≤ log x / 4 hexp : 39 / 10 * ( log x / 4 ) ≤ rexp ( log x / 4 ) ⊢ 0 ≤ x linarith All goals completed! 🐙 ) ] x : ℝ hx : 5000 ≤ x hL : 851 / 100 ≤ log x hv : 851 / 400 ≤ log x / 4 hexp : 39 / 10 * ( log x / 4 ) ≤ rexp ( log x / 4 ) ⊢ log x / 4 + log x / 4 = log x / 2
ring x : ℝ hx : 5000 ≤ x hL : 851 / 100 ≤ log x hv : 851 / 400 ≤ log x / 4 hexp : 39 / 10 * ( log x / 4 ) ≤ rexp ( log x / 4 ) h_half : log x / 4 + log x / 4 = log √ x ⊢ rexp ( log x / 4 + log x / 4 ) = √ x
rw [ h_half , x : ℝ hx : 5000 ≤ x hL : 851 / 100 ≤ log x hv : 851 / 400 ≤ log x / 4 hexp : 39 / 10 * ( log x / 4 ) ≤ rexp ( log x / 4 ) h_half : log x / 4 + log x / 4 = log √ x ⊢ rexp ( log √ x ) = √ x Real.exp_log ( Real.sqrt_pos . mpr ( by x : ℝ hx : 5000 ≤ x hL : 851 / 100 ≤ log x hv : 851 / 400 ≤ log x / 4 hexp : 39 / 10 * ( log x / 4 ) ≤ rexp ( log x / 4 ) h_half : log x / 4 + log x / 4 = log √ x ⊢ 0 < x linarith All goals completed! 🐙 ) ) ] x : ℝ hx : 5000 ≤ x hL : 851 / 100 ≤ log x hv : 851 / 400 ≤ log x / 4 hexp : 39 / 10 * ( log x / 4 ) ≤ rexp ( log x / 4 ) h_exp_sq : rexp ( log x / 4 ) ^ 2 = √ x ⊢ log x ^ 2 ≤ 20 / 19 * √ x
have h_lhs_nonneg : 0 ≤ ( 39 / 10 : ℝ ) * ( Real.log x / 4 ) := by linarith x : ℝ hx : 5000 ≤ x hL : 851 / 100 ≤ log x hv : 851 / 400 ≤ log x / 4 hexp : 39 / 10 * ( log x / 4 ) ≤ rexp ( log x / 4 ) h_exp_sq : rexp ( log x / 4 ) ^ 2 = √ x h_lhs_nonneg : 0 ≤ 39 / 10 * ( log x / 4 ) ⊢ log x ^ 2 ≤ 20 / 19 * √ x
have h_sq_le : ( ( 39 / 10 : ℝ ) * ( Real.log x / 4 ) ) ^ 2 ≤ ( Real.exp ( Real.log x / 4 ) ) ^ 2 :=
pow_le_pow_left₀ h_lhs_nonneg hexp 2 x : ℝ hx : 5000 ≤ x hL : 851 / 100 ≤ log x hv : 851 / 400 ≤ log x / 4 hexp : 39 / 10 * ( log x / 4 ) ≤ rexp ( log x / 4 ) h_exp_sq : rexp ( log x / 4 ) ^ 2 = √ x h_lhs_nonneg : 0 ≤ 39 / 10 * ( log x / 4 ) h_sq_le : ( 39 / 10 * ( log x / 4 ) ) ^ 2 ≤ rexp ( log x / 4 ) ^ 2 ⊢ log x ^ 2 ≤ 20 / 19 * √ x
rw [ h_exp_sq x : ℝ hx : 5000 ≤ x hL : 851 / 100 ≤ log x hv : 851 / 400 ≤ log x / 4 hexp : 39 / 10 * ( log x / 4 ) ≤ rexp ( log x / 4 ) h_exp_sq : rexp ( log x / 4 ) ^ 2 = √ x h_lhs_nonneg : 0 ≤ 39 / 10 * ( log x / 4 ) h_sq_le : ( 39 / 10 * ( log x / 4 ) ) ^ 2 ≤ √ x ⊢ log x ^ 2 ≤ 20 / 19 * √ x ] at h_sq_le x : ℝ hx : 5000 ≤ x hL : 851 / 100 ≤ log x hv : 851 / 400 ≤ log x / 4 hexp : 39 / 10 * ( log x / 4 ) ≤ rexp ( log x / 4 ) h_exp_sq : rexp ( log x / 4 ) ^ 2 = √ x h_lhs_nonneg : 0 ≤ 39 / 10 * ( log x / 4 ) h_sq_le : ( 39 / 10 * ( log x / 4 ) ) ^ 2 ≤ √ x ⊢ log x ^ 2 ≤ 20 / 19 * √ x
nlinarith All goals completed! 🐙
Helper bounds on Real.sqrt (x + h), (x + h) ^ (3 / 2 : ℝ), and (x + h) ^ (3 / 4 : ℝ).
lemma rpow_xh_bounds { x h S L : ℝ } ( hx : 5000 ≤ x ) ( hS : 70 ≤ S ) ( hS_sq : S ^ 2 = x )
( hL_sq : ( 7242 / 100 : ℝ ) ≤ L ^ 2 ) ( hh_def : h = ( 7 / 20 : ℝ ) * S * L ^ 2 )
( hh_le_x : h ≤ ( 7 / 19 : ℝ ) * x ) :
S ≤ Real.sqrt ( x + h ) ∧
Real.sqrt ( x + h ) ≤ ( 34 / 29 : ℝ ) * S ∧
( x + h ) ^ ( 3 / 2 : ℝ ) ≤ ( 161 / 100 : ℝ ) * S ^ 3 ∧
( x + h ) ^ ( 3 / 4 : ℝ ) ≤ ( 26 / 171 : ℝ ) * S ^ 2 := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x ⊢ S ≤ √ ( x + h ) ∧ √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2
have hS_pos : 0 < S := by linarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S ⊢ S ≤ √ ( x + h ) ∧ √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2
have hh_ge : 1600 ≤ h := by
rw [ hh_def x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S ⊢ 1600 ≤ 7 / 20 * S * L ^ 2 ] x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S ⊢ 1600 ≤ 7 / 20 * S * L ^ 2
nlinarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h ⊢ S ≤ √ ( x + h ) ∧ √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2
have hx_add_h_le' : x + h ≤ ( 26 / 19 : ℝ ) * S ^ 2 := by linarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 ⊢ S ≤ √ ( x + h ) ∧ √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2
have hx_add_h_le : x + h ≤ ( ( 34 / 29 : ℝ ) * S ) ^ 2 := by nlinarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 ⊢ S ≤ √ ( x + h ) ∧ √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2
have h_sqrt_ge : S ≤ Real.sqrt ( x + h ) := by
have h1 : S ^ 2 ≤ x + h := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x ⊢ S ≤ √ ( x + h ) ∧ √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 linarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h1 : S ^ 2 ≤ x + h ⊢ S ≤ √ ( x + h )
have h2 := Real.sqrt_le_sqrt h1 x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h1 : S ^ 2 ≤ x + h h2 : √ ( S ^ 2 ) ≤ √ ( x + h ) ⊢ S ≤ √ ( x + h )
rwa [ Real.sqrt_sq hS_pos . le ] at h2 x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) ⊢ S ≤ √ ( x + h ) ∧ √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2
have h_sqrt_xh : Real.sqrt ( x + h ) ≤ ( 34 / 29 : ℝ ) * S := by
have h1 := Real.sqrt_le_sqrt hx_add_h_le x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h1 : √ ( x + h ) ≤ √ ( ( 34 / 29 * S ) ^ 2 ) ⊢ √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S
rwa [ Real.sqrt_sq ( by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h1 : √ ( x + h ) ≤ √ ( ( 34 / 29 * S ) ^ 2 ) ⊢ 0 ≤ 34 / 29 * S positivity All goals completed! 🐙 ) ] at h1 x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S ⊢ S ≤ √ ( x + h ) ∧ √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2
have h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 : ℝ ) ≤ ( 161 / 100 : ℝ ) * S ^ 3 := by
have h_split : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 : ℝ ) = ( x + h ) * Real.sqrt ( x + h ) := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x ⊢ S ≤ √ ( x + h ) ∧ √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2
have h_eq : ( 3 / 2 : ℝ ) = 1 + 1 / 2 := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x ⊢ S ≤ √ ( x + h ) ∧ √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 norm_num x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_eq : 3 / 2 = 1 + 1 / 2 ⊢ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) = ( x + h ) * √ ( x + h )
rw [ h_eq , x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_eq : 3 / 2 = 1 + 1 / 2 ⊢ ( x + h ) ^ ( 1 + 1 / 2 ) = ( x + h ) * √ ( x + h ) Real.rpow_add ( by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_eq : 3 / 2 = 1 + 1 / 2 ⊢ 0 < x + h linarith All goals completed! 🐙 ) , Real.rpow_one , x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_eq : 3 / 2 = 1 + 1 / 2 ⊢ ( x + h ) * ( x + h ) ^ ( 1 / 2 ) = ( x + h ) * √ ( x + h ) ← Real.sqrt_eq_rpow x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_eq : 3 / 2 = 1 + 1 / 2 ⊢ ( x + h ) * √ ( x + h ) = ( x + h ) * √ ( x + h ) ] x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_split : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) = ( x + h ) * √ ( x + h ) ⊢ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3
have h_sqrt_nonneg : 0 ≤ Real.sqrt ( x + h ) := Real.sqrt_nonneg _ x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_split : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) = ( x + h ) * √ ( x + h ) h_sqrt_nonneg : 0 ≤ √ ( x + h ) ⊢ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3
rw [ h_split x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_split : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) = ( x + h ) * √ ( x + h ) h_sqrt_nonneg : 0 ≤ √ ( x + h ) ⊢ ( x + h ) * √ ( x + h ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ] x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_split : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) = ( x + h ) * √ ( x + h ) h_sqrt_nonneg : 0 ≤ √ ( x + h ) ⊢ ( x + h ) * √ ( x + h ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3
nlinarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ⊢ S ≤ √ ( x + h ) ∧ √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2
have h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 : ℝ ) ≤ ( 26 / 171 : ℝ ) * S ^ 2 := by
have h6561 : ( 9 : ℝ ) ^ ( 4 : ℝ ) ≤ x + h := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x ⊢ S ≤ √ ( x + h ) ∧ √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 norm_num x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ⊢ 6561 ≤ x + h ; linarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h6561 : 9 ^ 4 ≤ x + h ⊢ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2
have h9_le : ( 9 : ℝ ) ≤ ( x + h ) ^ ( 1 / 4 : ℝ ) := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x ⊢ S ≤ √ ( x + h ) ∧ √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2
have h1 := Real.rpow_le_rpow ( by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h6561 : 9 ^ 4 ≤ x + h ⊢ 0 ≤ 9 ^ 4 positivity All goals completed! 🐙 ) h6561 ( by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h6561 : 9 ^ 4 ≤ x + h ⊢ 0 ≤ 1 / 4 norm_num All goals completed! 🐙 : ( 0 : ℝ ) ≤ 1 / 4 ) x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h6561 : 9 ^ 4 ≤ x + h h1 : ( 9 ^ 4 ) ^ ( 1 / 4 ) ≤ ( x + h ) ^ ( 1 / 4 ) ⊢ 9 ≤ ( x + h ) ^ ( 1 / 4 )
rw [ ← Real.rpow_mul ( by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h6561 : 9 ^ 4 ≤ x + h h1 : ( 9 ^ 4 ) ^ ( 1 / 4 ) ≤ ( x + h ) ^ ( 1 / 4 ) ⊢ 0 ≤ 9 norm_num All goals completed! 🐙 ) ] at h1 x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h6561 : 9 ^ 4 ≤ x + h h1 : 9 ^ ( 4 * ( 1 / 4 ) ) ≤ ( x + h ) ^ ( 1 / 4 ) ⊢ 9 ≤ ( x + h ) ^ ( 1 / 4 )
norm_num at h1 x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h6561 : 9 ^ 4 ≤ x + h h1 : 9 ≤ ( x + h ) ^ ( 1 / 4 ) ⊢ 9 ≤ ( x + h ) ^ ( 1 / 4 )
exact h1 x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h6561 : 9 ^ 4 ≤ x + h h9_le : 9 ≤ ( x + h ) ^ ( 1 / 4 ) ⊢ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2
have h_prod : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 : ℝ ) * ( x + h ) ^ ( 1 / 4 : ℝ ) = x + h := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x ⊢ S ≤ √ ( x + h ) ∧ √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2
rw [ ← Real.rpow_add ( by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h6561 : 9 ^ 4 ≤ x + h h9_le : 9 ≤ ( x + h ) ^ ( 1 / 4 ) ⊢ 0 < x + h linarith All goals completed! 🐙 ) ] x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h6561 : 9 ^ 4 ≤ x + h h9_le : 9 ≤ ( x + h ) ^ ( 1 / 4 ) ⊢ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 + 1 / 4 ) = x + h
norm_num x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h6561 : 9 ^ 4 ≤ x + h h9_le : 9 ≤ ( x + h ) ^ ( 1 / 4 ) h_prod : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) * ( x + h ) ^ ( 1 / 4 ) = x + h ⊢ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2
have h_nonneg : 0 ≤ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 : ℝ ) := Real.rpow_nonneg ( by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h6561 : 9 ^ 4 ≤ x + h h9_le : 9 ≤ ( x + h ) ^ ( 1 / 4 ) h_prod : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) * ( x + h ) ^ ( 1 / 4 ) = x + h ⊢ 0 ≤ x + h linarith All goals completed! 🐙 ) _ x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h6561 : 9 ^ 4 ≤ x + h h9_le : 9 ≤ ( x + h ) ^ ( 1 / 4 ) h_prod : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) * ( x + h ) ^ ( 1 / 4 ) = x + h h_nonneg : 0 ≤ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ⊢ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2
nlinarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hx : 5000 ≤ x hS : 70 ≤ S hS_sq : S ^ 2 = x hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hS_pos : 0 < S hh_ge : 1600 ≤ h hx_add_h_le' : x + h ≤ 26 / 19 * S ^ 2 hx_add_h_le : x + h ≤ ( 34 / 29 * S ) ^ 2 h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 ⊢ S ≤ √ ( x + h ) ∧ √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 ∧ ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2
exact ⟨ h_sqrt_ge , h_sqrt_xh , h_rpow_32 , h_rpow_34 ⟩ All goals completed! 🐙
Helper bounds on Real.log T and Real.log 6.
lemma log_T_and_six_bounds { L S T : ℝ }
( hL : ( 851 / 100 : ℝ ) ≤ L ) ( hS_pos : 0 < S ) ( hS_log : Real.log S = L / 2 )
( h6_le_T : 6 ≤ T ) ( hT_def : T = ( 3 / 2 : ℝ ) * S / L ) :
0 ≤ Real.log T ∧ Real.log T ≤ L / 2 - 429 / 250 ∧ ( 89 / 50 : ℝ ) ≤ Real.log 6 := by L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L ⊢ 0 ≤ log T ∧ log T ≤ L / 2 - 429 / 250 ∧ 89 / 50 ≤ log 6
have hL_pos : 0 < L := by linarith L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L ⊢ 0 ≤ log T ∧ log T ≤ L / 2 - 429 / 250 ∧ 89 / 50 ≤ log 6
have h_logL : ( 533 / 250 : ℝ ) ≤ Real.log L := by
have hpow : ( 2 : ℝ ) ^ ( 40 : ℕ ) ≤ L ^ ( 13 : ℕ ) := by L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L ⊢ 0 ≤ log T ∧ log T ≤ L / 2 - 429 / 250 ∧ 89 / 50 ≤ log 6
have h1 : ( 2 : ℝ ) ^ ( 40 : ℕ ) ≤ ( 851 / 100 : ℝ ) ^ ( 13 : ℕ ) := by L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L ⊢ 0 ≤ log T ∧ log T ≤ L / 2 - 429 / 250 ∧ 89 / 50 ≤ log 6 norm_num L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h1 : 2 ^ 40 ≤ ( 851 / 100 ) ^ 13 ⊢ 2 ^ 40 ≤ L ^ 13
have h2 : ( 851 / 100 : ℝ ) ^ ( 13 : ℕ ) ≤ L ^ ( 13 : ℕ ) :=
pow_le_pow_left₀ ( by L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h1 : 2 ^ 40 ≤ ( 851 / 100 ) ^ 13 ⊢ 0 ≤ 851 / 100 norm_num All goals completed! 🐙 ) hL 13 L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h1 : 2 ^ 40 ≤ ( 851 / 100 ) ^ 13 h2 : ( 851 / 100 ) ^ 13 ≤ L ^ 13 ⊢ 2 ^ 40 ≤ L ^ 13
exact h1 . trans h2 L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L hpow : 2 ^ 40 ≤ L ^ 13 ⊢ 533 / 250 ≤ log L
have hlog := Real.log_le_log ( by L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L hpow : 2 ^ 40 ≤ L ^ 13 ⊢ 0 < 2 ^ 40 positivity All goals completed! 🐙 ) hpow L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L hpow : 2 ^ 40 ≤ L ^ 13 hlog : log ( 2 ^ 40 ) ≤ log ( L ^ 13 ) ⊢ 533 / 250 ≤ log L
rw [ Real.log_pow , L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L hpow : 2 ^ 40 ≤ L ^ 13 hlog : ↑ 40 * log 2 ≤ log ( L ^ 13 ) ⊢ 533 / 250 ≤ log L Real.log_pow L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L hpow : 2 ^ 40 ≤ L ^ 13 hlog : ↑ 40 * log 2 ≤ ↑ 13 * log L ⊢ 533 / 250 ≤ log L ] at hlog L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L hpow : 2 ^ 40 ≤ L ^ 13 hlog : ↑ 40 * log 2 ≤ ↑ 13 * log L ⊢ 533 / 250 ≤ log L
have hlog2 := Real.log_two_gt_d9 L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L hpow : 2 ^ 40 ≤ L ^ 13 hlog : ↑ 40 * log 2 ≤ ↑ 13 * log L hlog2 : 0.6931471803 < log 2 ⊢ 533 / 250 ≤ log L
push_cast at hlog L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L hpow : 2 ^ 40 ≤ L ^ 13 hlog : 40 * log 2 ≤ 13 * log L hlog2 : 0.6931471803 < log 2 ⊢ 533 / 250 ≤ log L
linarith L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L ⊢ 0 ≤ log T ∧ log T ≤ L / 2 - 429 / 250 ∧ 89 / 50 ≤ log 6
have h_log32 : Real.log ( 3 / 2 : ℝ ) ≤ 52 / 125 := by
have hpow : ( ( 3 / 2 : ℝ ) ^ ( 5 : ℕ ) ) ≤ ( 2 : ℝ ) ^ ( 3 : ℕ ) := by L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L ⊢ 0 ≤ log T ∧ log T ≤ L / 2 - 429 / 250 ∧ 89 / 50 ≤ log 6 norm_num L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L hpow : ( 3 / 2 ) ^ 5 ≤ 2 ^ 3 ⊢ log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125
have hlog := Real.log_le_log ( by L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L hpow : ( 3 / 2 ) ^ 5 ≤ 2 ^ 3 ⊢ 0 < ( 3 / 2 ) ^ 5 positivity All goals completed! 🐙 ) hpow L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L hpow : ( 3 / 2 ) ^ 5 ≤ 2 ^ 3 hlog : log ( ( 3 / 2 ) ^ 5 ) ≤ log ( 2 ^ 3 ) ⊢ log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125
rw [ Real.log_pow , L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L hpow : ( 3 / 2 ) ^ 5 ≤ 2 ^ 3 hlog : ↑ 5 * log ( 3 / 2 ) ≤ log ( 2 ^ 3 ) ⊢ log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 Real.log_pow L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L hpow : ( 3 / 2 ) ^ 5 ≤ 2 ^ 3 hlog : ↑ 5 * log ( 3 / 2 ) ≤ ↑ 3 * log 2 ⊢ log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 ] at hlog L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L hpow : ( 3 / 2 ) ^ 5 ≤ 2 ^ 3 hlog : ↑ 5 * log ( 3 / 2 ) ≤ ↑ 3 * log 2 ⊢ log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125
have hlog2 := Real.log_two_lt_d9 L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L hpow : ( 3 / 2 ) ^ 5 ≤ 2 ^ 3 hlog : ↑ 5 * log ( 3 / 2 ) ≤ ↑ 3 * log 2 hlog2 : log 2 < 0.6931471808 ⊢ log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125
push_cast at hlog L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L hpow : ( 3 / 2 ) ^ 5 ≤ 2 ^ 3 hlog : 5 * log ( 3 / 2 ) ≤ 3 * log 2 hlog2 : log 2 < 0.6931471808 ⊢ log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125
linarith L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L h_log32 : log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 ⊢ 0 ≤ log T ∧ log T ≤ L / 2 - 429 / 250 ∧ 89 / 50 ≤ log 6
have h_logT_eq : Real.log T = Real.log ( 3 / 2 : ℝ ) + Real.log S - Real.log L := by
rw [ hT_def , L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L h_log32 : log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 ⊢ log ( 3 / 2 * S / L ) = log ( 3 / 2 ) + log S - log L Real.log_div ( by L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L h_log32 : log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 ⊢ 3 / 2 * S ≠ 0 positivity All goals completed! 🐙 ) hL_pos . ne' ,
Real.log_mul ( by L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L h_log32 : log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 ⊢ 3 / 2 ≠ 0 norm_num All goals completed! 🐙 ) hS_pos . ne' ] L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L h_log32 : log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 h_logT_eq : log T = log ( 3 / 2 ) + log S - log L ⊢ 0 ≤ log T ∧ log T ≤ L / 2 - 429 / 250 ∧ 89 / 50 ≤ log 6
have h_logT_le : Real.log T ≤ L / 2 - 429 / 250 := by linarith L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L h_log32 : log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 h_logT_eq : log T = log ( 3 / 2 ) + log S - log L h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 ⊢ 0 ≤ log T ∧ log T ≤ L / 2 - 429 / 250 ∧ 89 / 50 ≤ log 6
have h_logT_nonneg : 0 ≤ Real.log T := Real.log_nonneg ( by L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L h_log32 : log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 h_logT_eq : log T = log ( 3 / 2 ) + log S - log L h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 ⊢ 1 ≤ T linarith All goals completed! 🐙 ) L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L h_log32 : log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 h_logT_eq : log T = log ( 3 / 2 ) + log S - log L h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T ⊢ 0 ≤ log T ∧ log T ≤ L / 2 - 429 / 250 ∧ 89 / 50 ≤ log 6
have h_log6_ge : ( 89 / 50 : ℝ ) ≤ Real.log 6 := by
have hpow : ( 2 : ℝ ) ^ ( 18 : ℕ ) ≤ ( 6 : ℝ ) ^ ( 7 : ℕ ) := by L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L ⊢ 0 ≤ log T ∧ log T ≤ L / 2 - 429 / 250 ∧ 89 / 50 ≤ log 6 norm_num L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L h_log32 : log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 h_logT_eq : log T = log ( 3 / 2 ) + log S - log L h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T hpow : 2 ^ 18 ≤ 6 ^ 7 ⊢ 89 / 50 ≤ log 6
have hlog := Real.log_le_log ( by L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L h_log32 : log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 h_logT_eq : log T = log ( 3 / 2 ) + log S - log L h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T hpow : 2 ^ 18 ≤ 6 ^ 7 ⊢ 0 < 2 ^ 18 positivity All goals completed! 🐙 ) hpow L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L h_log32 : log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 h_logT_eq : log T = log ( 3 / 2 ) + log S - log L h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T hpow : 2 ^ 18 ≤ 6 ^ 7 hlog : log ( 2 ^ 18 ) ≤ log ( 6 ^ 7 ) ⊢ 89 / 50 ≤ log 6
rw [ Real.log_pow , L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L h_log32 : log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 h_logT_eq : log T = log ( 3 / 2 ) + log S - log L h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T hpow : 2 ^ 18 ≤ 6 ^ 7 hlog : ↑ 18 * log 2 ≤ log ( 6 ^ 7 ) ⊢ 89 / 50 ≤ log 6 Real.log_pow L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L h_log32 : log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 h_logT_eq : log T = log ( 3 / 2 ) + log S - log L h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T hpow : 2 ^ 18 ≤ 6 ^ 7 hlog : ↑ 18 * log 2 ≤ ↑ 7 * log 6 ⊢ 89 / 50 ≤ log 6 ] at hlog L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L h_log32 : log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 h_logT_eq : log T = log ( 3 / 2 ) + log S - log L h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T hpow : 2 ^ 18 ≤ 6 ^ 7 hlog : ↑ 18 * log 2 ≤ ↑ 7 * log 6 ⊢ 89 / 50 ≤ log 6
have hlog2 := Real.log_two_gt_d9 L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L h_log32 : log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 h_logT_eq : log T = log ( 3 / 2 ) + log S - log L h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T hpow : 2 ^ 18 ≤ 6 ^ 7 hlog : ↑ 18 * log 2 ≤ ↑ 7 * log 6 hlog2 : 0.6931471803 < log 2 ⊢ 89 / 50 ≤ log 6
push_cast at hlog L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L h_log32 : log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 h_logT_eq : log T = log ( 3 / 2 ) + log S - log L h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T hpow : 2 ^ 18 ≤ 6 ^ 7 hlog : 18 * log 2 ≤ 7 * log 6 hlog2 : 0.6931471803 < log 2 ⊢ 89 / 50 ≤ log 6
linarith L : ℝ S : ℝ T : ℝ hL : 851 / 100 ≤ L hS_pos : 0 < S hS_log : log S = L / 2 h6_le_T : 6 ≤ T hT_def : T = 3 / 2 * S / L hL_pos : 0 < L h_logL : 533 / 250 ≤ log L h_log32 : log ( 3 / 2 ) ≤ 52 / 125 h_logT_eq : log T = log ( 3 / 2 ) + log S - log L h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 ⊢ 0 ≤ log T ∧ log T ≤ L / 2 - 429 / 250 ∧ 89 / 50 ≤ log 6
exact ⟨ h_logT_nonneg , h_logT_le , h_log6_ge ⟩ All goals completed! 🐙
Helper bound for Term 2: Real.log (2 * Real.pi) ≤ (1 / 500) * S * L ^ 2.
lemma term2_bound { S L : ℝ } ( hS : 70 ≤ S ) ( hL_sq : ( 7242 / 100 : ℝ ) ≤ L ^ 2 ) :
Real.log ( 2 * Real.pi ) ≤ ( 1 / 500 : ℝ ) * S * L ^ 2 := by S : ℝ L : ℝ hS : 70 ≤ S hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 ⊢ log ( 2 * π ) ≤ 1 / 500 * S * L ^ 2
have hpi : 2 * Real.pi ≤ 8 := by have := Real.pi_le_four S : ℝ L : ℝ hS : 70 ≤ S hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 this : π ≤ 4 ⊢ 2 * π ≤ 8 ; linarith S : ℝ L : ℝ hS : 70 ≤ S hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hpi : 2 * π ≤ 8 ⊢ log ( 2 * π ) ≤ 1 / 500 * S * L ^ 2
have hlog_2pi : Real.log ( 2 * Real.pi ) ≤ 2 * Real.pi - 1 :=
Real.log_le_sub_one_of_pos ( by S : ℝ L : ℝ hS : 70 ≤ S hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hpi : 2 * π ≤ 8 ⊢ 0 < 2 * π positivity All goals completed! 🐙 ) S : ℝ L : ℝ hS : 70 ≤ S hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hpi : 2 * π ≤ 8 hlog_2pi : log ( 2 * π ) ≤ 2 * π - 1 ⊢ log ( 2 * π ) ≤ 1 / 500 * S * L ^ 2
have hSL : 4000 ≤ S * L ^ 2 := by nlinarith S : ℝ L : ℝ hS : 70 ≤ S hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hpi : 2 * π ≤ 8 hlog_2pi : log ( 2 * π ) ≤ 2 * π - 1 hSL : 4000 ≤ S * L ^ 2 ⊢ log ( 2 * π ) ≤ 1 / 500 * S * L ^ 2
linarith All goals completed! 🐙
Helper bound for Term 3 + Term 4 combined.
lemma term3_add_term4_bound { x h S L T : ℝ } ( hS_pos : 0 < S ) ( hL : ( 851 / 100 : ℝ ) ≤ L )
( hL_sq : ( 7242 / 100 : ℝ ) ≤ L ^ 2 ) ( hh_pos : 0 < h ) ( hT_pos : 0 < T )
( hh_def : h = ( 7 / 20 : ℝ ) * S * L ^ 2 ) ( hT_def : T = ( 3 / 2 : ℝ ) * S / L )
( h_sqrt_ge : S ≤ Real.sqrt ( x + h ) )
( h_sqrt_xh : Real.sqrt ( x + h ) ≤ ( 34 / 29 : ℝ ) * S )
( h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 : ℝ ) ≤ ( 161 / 100 : ℝ ) * S ^ 3 )
( h_logT_nonneg : 0 ≤ Real.log T ) ( h_logT_le : Real.log T ≤ L / 2 - 429 / 250 )
( h_log6_ge : ( 89 / 50 : ℝ ) ≤ Real.log 6 ) :
Real.sqrt ( x + h ) *
( ( 16 / 5 : ℝ ) / 2 * ( Real.log T ) ^ 2 + ( ( 16 / 5 : ℝ ) + ( 11 / 5 : ℝ ) ) * Real.log T +
( 11 / 5 : ℝ ) + ( 0 : ℝ ) / 6 -
( 16 / 5 : ℝ ) / 2 * ( Real.log 6 ) ^ 2 - ( 11 / 5 : ℝ ) * Real.log 6 ) +
( 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 : ℝ ) / h ) *
( ( 2 * ( 16 / 5 : ℝ ) * Real.log T + 2 * ( 16 / 5 : ℝ ) + 2 * ( 11 / 5 : ℝ ) ) / T +
2 * ( 0 : ℝ ) / T ^ 2 ) ≤
( 59 / 100 : ℝ ) * S * L ^ 2 := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 ⊢ √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤
59 / 100 * S * L ^ 2
have hL_pos : 0 < L := by linarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L ⊢ √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤
59 / 100 * S * L ^ 2
have h_sq_T : ( Real.log T ) ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 :=
sq_le_sq' ( by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L ⊢ - ( L / 2 - 429 / 250 ) ≤ log T linarith All goals completed! 🐙 ) h_logT_le x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 ⊢ √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤
59 / 100 * S * L ^ 2
have h_sq_6 : ( 89 / 50 : ℝ ) ^ 2 ≤ ( Real.log 6 ) ^ 2 :=
sq_le_sq' ( by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 ⊢ - log 6 ≤ 89 / 50 linarith All goals completed! 🐙 ) h_log6_ge x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 ⊢ √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤
59 / 100 * S * L ^ 2
have h_bracket3 :
( 16 / 5 : ℝ ) / 2 * ( Real.log T ) ^ 2 + ( ( 16 / 5 : ℝ ) + ( 11 / 5 : ℝ ) ) * Real.log T +
( 11 / 5 : ℝ ) + ( 0 : ℝ ) / 6 -
( 16 / 5 : ℝ ) / 2 * ( Real.log 6 ) ^ 2 - ( 11 / 5 : ℝ ) * Real.log 6 ≤
( 2 / 5 : ℝ ) * L ^ 2 - 23 / 2 := by
nlinarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 ⊢ √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤
59 / 100 * S * L ^ 2
have h_term3 :
Real.sqrt ( x + h ) *
( ( 16 / 5 : ℝ ) / 2 * ( Real.log T ) ^ 2 + ( ( 16 / 5 : ℝ ) + ( 11 / 5 : ℝ ) ) * Real.log T +
( 11 / 5 : ℝ ) + ( 0 : ℝ ) / 6 -
( 16 / 5 : ℝ ) / 2 * ( Real.log 6 ) ^ 2 - ( 11 / 5 : ℝ ) * Real.log 6 ) ≤
( 68 / 145 : ℝ ) * S * L ^ 2 - ( 23 / 2 : ℝ ) * S := by
have h1 := mul_le_mul_of_nonneg_left h_bracket3 ( Real.sqrt_nonneg ( x + h ) ) x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h1 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
√ ( x + h ) * ( 2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 ) ⊢ √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S
have h2 : Real.sqrt ( x + h ) * ( ( 2 / 5 : ℝ ) * L ^ 2 ) ≤
( ( 34 / 29 : ℝ ) * S ) * ( ( 2 / 5 : ℝ ) * L ^ 2 ) :=
mul_le_mul_of_nonneg_right h_sqrt_xh ( by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h1 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
√ ( x + h ) * ( 2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 ) ⊢ 0 ≤ 2 / 5 * L ^ 2 positivity All goals completed! 🐙 ) x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h1 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
√ ( x + h ) * ( 2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 ) h2 : √ ( x + h ) * ( 2 / 5 * L ^ 2 ) ≤ 34 / 29 * S * ( 2 / 5 * L ^ 2 ) ⊢ √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S
linarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S ⊢ √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤
59 / 100 * S * L ^ 2
have h_term4 :
( 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 : ℝ ) / h ) *
( ( 2 * ( 16 / 5 : ℝ ) * Real.log T + 2 * ( 16 / 5 : ℝ ) + 2 * ( 11 / 5 : ℝ ) ) / T +
2 * ( 0 : ℝ ) / T ^ 2 ) ≤
( 99 / 5 : ℝ ) * S := by
rw [ mul_zero , x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S ⊢ 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 0 / T ^ 2 ) ≤ 99 / 5 * S zero_div , x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S ⊢ 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 0 ) ≤ 99 / 5 * S add_zero , x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S ⊢ 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T ) ≤ 99 / 5 * S div_mul_div_comm x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S ⊢ 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) * ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / ( h * T ) ≤ 99 / 5 * S ] x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S ⊢ 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) * ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / ( h * T ) ≤ 99 / 5 * S
rw [ div_le_iff₀ ( mul_pos hh_pos hT_pos ) x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S ⊢ 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) * ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) ≤ 99 / 5 * S * ( h * T ) ] x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S ⊢ 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) * ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) ≤ 99 / 5 * S * ( h * T )
have h_hT : h * T = ( 21 / 40 : ℝ ) * S ^ 2 * L := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 ⊢ √ ( x + h ) *
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2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤
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rw [ hh_def , x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S ⊢ 7 / 20 * S * L ^ 2 * T = 21 / 40 * S ^ 2 * L hT_def x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S ⊢ 7 / 20 * S * L ^ 2 * ( 3 / 2 * S / L ) = 21 / 40 * S ^ 2 * L ] x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S ⊢ 7 / 20 * S * L ^ 2 * ( 3 / 2 * S / L ) = 21 / 40 * S ^ 2 * L
field_simp [ hL_pos . ne' ] x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
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68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S ⊢ 7 * 3 * 40 = 20 * 2 * 21
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2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S h_hT : h * T = 21 / 40 * S ^ 2 * L ⊢ 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) * ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) ≤ 99 / 5 * S * ( h * T )
rw [ h_hT x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S h_hT : h * T = 21 / 40 * S ^ 2 * L ⊢ 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) * ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) ≤ 99 / 5 * S * ( 21 / 40 * S ^ 2 * L ) ] x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S h_hT : h * T = 21 / 40 * S ^ 2 * L ⊢ 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) * ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) ≤ 99 / 5 * S * ( 21 / 40 * S ^ 2 * L )
have h_num1 : 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 : ℝ ) ≤ ( 161 / 50 : ℝ ) * S ^ 3 := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 ⊢ √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤
59 / 100 * S * L ^ 2 linarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S h_hT : h * T = 21 / 40 * S ^ 2 * L h_num1 : 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 50 * S ^ 3 ⊢ 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) * ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) ≤ 99 / 5 * S * ( 21 / 40 * S ^ 2 * L )
have h_num2 : 2 * ( 16 / 5 : ℝ ) * Real.log T + 2 * ( 16 / 5 : ℝ ) + 2 * ( 11 / 5 : ℝ ) ≤
( 16 / 5 : ℝ ) * L := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 ⊢ √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤
59 / 100 * S * L ^ 2 linarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S h_hT : h * T = 21 / 40 * S ^ 2 * L h_num1 : 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 50 * S ^ 3 h_num2 : 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ≤ 16 / 5 * L ⊢ 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) * ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) ≤ 99 / 5 * S * ( 21 / 40 * S ^ 2 * L )
have h_prod :
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 : ℝ ) *
( 2 * ( 16 / 5 : ℝ ) * Real.log T + 2 * ( 16 / 5 : ℝ ) + 2 * ( 11 / 5 : ℝ ) ) ≤
( ( 161 / 50 : ℝ ) * S ^ 3 ) * ( ( 16 / 5 : ℝ ) * L ) :=
mul_le_mul h_num1 h_num2 ( by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S h_hT : h * T = 21 / 40 * S ^ 2 * L h_num1 : 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 50 * S ^ 3 h_num2 : 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ≤ 16 / 5 * L ⊢ 0 ≤ 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) positivity All goals completed! 🐙 ) ( by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S h_hT : h * T = 21 / 40 * S ^ 2 * L h_num1 : 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 50 * S ^ 3 h_num2 : 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ≤ 16 / 5 * L ⊢ 0 ≤ 161 / 50 * S ^ 3 positivity All goals completed! 🐙 ) x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S h_hT : h * T = 21 / 40 * S ^ 2 * L h_num1 : 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 50 * S ^ 3 h_num2 : 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ≤ 16 / 5 * L h_prod : 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) * ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) ≤ 161 / 50 * S ^ 3 * ( 16 / 5 * L ) ⊢ 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) * ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) ≤ 99 / 5 * S * ( 21 / 40 * S ^ 2 * L )
have h_rhs :
( ( 161 / 50 : ℝ ) * S ^ 3 ) * ( ( 16 / 5 : ℝ ) * L ) ≤
( 99 / 5 : ℝ ) * S * ( ( 21 / 40 : ℝ ) * S ^ 2 * L ) := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 ⊢ √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤
59 / 100 * S * L ^ 2
have h_diff :
( 99 / 5 : ℝ ) * S * ( ( 21 / 40 : ℝ ) * S ^ 2 * L ) -
( ( 161 / 50 : ℝ ) * S ^ 3 ) * ( ( 16 / 5 : ℝ ) * L ) =
( 91 / 1000 : ℝ ) * S ^ 3 * L := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 ⊢ √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤
59 / 100 * S * L ^ 2 ring x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S h_hT : h * T = 21 / 40 * S ^ 2 * L h_num1 : 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 50 * S ^ 3 h_num2 : 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ≤ 16 / 5 * L h_prod : 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) * ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) ≤ 161 / 50 * S ^ 3 * ( 16 / 5 * L ) h_diff : 99 / 5 * S * ( 21 / 40 * S ^ 2 * L ) - 161 / 50 * S ^ 3 * ( 16 / 5 * L ) = 91 / 1000 * S ^ 3 * L ⊢ 161 / 50 * S ^ 3 * ( 16 / 5 * L ) ≤ 99 / 5 * S * ( 21 / 40 * S ^ 2 * L )
have : 0 ≤ ( 91 / 1000 : ℝ ) * S ^ 3 * L := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 ⊢ √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤
59 / 100 * S * L ^ 2 positivity x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S h_hT : h * T = 21 / 40 * S ^ 2 * L h_num1 : 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 50 * S ^ 3 h_num2 : 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ≤ 16 / 5 * L h_prod : 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) * ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) ≤ 161 / 50 * S ^ 3 * ( 16 / 5 * L ) h_diff : 99 / 5 * S * ( 21 / 40 * S ^ 2 * L ) - 161 / 50 * S ^ 3 * ( 16 / 5 * L ) = 91 / 1000 * S ^ 3 * L this : 0 ≤ 91 / 1000 * S ^ 3 * L ⊢ 161 / 50 * S ^ 3 * ( 16 / 5 * L ) ≤ 99 / 5 * S * ( 21 / 40 * S ^ 2 * L )
linarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S h_hT : h * T = 21 / 40 * S ^ 2 * L h_num1 : 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 50 * S ^ 3 h_num2 : 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ≤ 16 / 5 * L h_prod : 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) * ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) ≤ 161 / 50 * S ^ 3 * ( 16 / 5 * L ) h_rhs : 161 / 50 * S ^ 3 * ( 16 / 5 * L ) ≤ 99 / 5 * S * ( 21 / 40 * S ^ 2 * L ) ⊢ 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) * ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) ≤ 99 / 5 * S * ( 21 / 40 * S ^ 2 * L )
linarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S h_term4 : 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤ 99 / 5 * S ⊢ √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤
59 / 100 * S * L ^ 2
have hS_le_SL2 : ( 83 / 10 : ℝ ) * S ≤ ( 59 / 100 - 68 / 145 : ℝ ) * S * L ^ 2 := by
nlinarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ T : ℝ hS_pos : 0 < S hL : 851 / 100 ≤ L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hT_pos : 0 < T hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 hL_pos : 0 < L h_sq_T : log T ^ 2 ≤ ( L / 2 - 429 / 250 ) ^ 2 h_sq_6 : ( 89 / 50 ) ^ 2 ≤ log 6 ^ 2 h_bracket3 : 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ≤
2 / 5 * L ^ 2 - 23 / 2 h_term3 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) ≤
68 / 145 * S * L ^ 2 - 23 / 2 * S h_term4 : 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤ 99 / 5 * S hS_le_SL2 : 83 / 10 * S ≤ ( 59 / 100 - 68 / 145 ) * S * L ^ 2 ⊢ √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤
59 / 100 * S * L ^ 2
linarith All goals completed! 🐙
Helper bound for Term 5: left-vertical line Re s = -1 / 4 contribution.
lemma term5_bound { x h S L : ℝ } ( hS_pos : 0 < S ) ( hL_pos : 0 < L )
( hL_sq : ( 7242 / 100 : ℝ ) ≤ L ^ 2 ) ( hh_pos : 0 < h )
( hh_def : h = ( 7 / 20 : ℝ ) * S * L ^ 2 )
( h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 : ℝ ) ≤ ( 26 / 171 : ℝ ) * S ^ 2 ) :
32 * ( 2 * ( 1 : ℝ ) + ( 85 : ℝ ) ) / ( Real.pi * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 : ℝ ) ≤
( 8 / 100 : ℝ ) * S * L ^ 2 := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 ⊢ 32 * ( 2 * 1 + 85 ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2
rw [ div_mul_eq_mul_div , x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 ⊢ 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) / ( π * h ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 div_le_iff₀ ( mul_pos Real.pi_pos hh_pos ) x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 ⊢ 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( π * h ) ] x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 ⊢ 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( π * h )
have hpi_gt : ( 3 : ℝ ) ≤ Real.pi := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 ⊢ 32 * ( 2 * 1 + 85 ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2
have h_sin : ( 1 / 2 : ℝ ) < Real.pi / 6 := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 ⊢ 32 * ( 2 * 1 + 85 ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2
rw [ ← Real.sin_pi_div_six x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 ⊢ sin ( π / 6 ) < π / 6 ] x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 ⊢ sin ( π / 6 ) < π / 6
exact Real.sin_lt ( by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 ⊢ 0 < π / 6 positivity All goals completed! 🐙 ) x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 h_sin : 1 / 2 < π / 6 ⊢ 3 ≤ π
linarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 hpi_gt : 3 ≤ π ⊢ 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( π * h )
have h_num : 32 * ( 2 * ( 1 : ℝ ) + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 : ℝ ) ≤ ( 24128 / 57 : ℝ ) * S ^ 2 := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 ⊢ 32 * ( 2 * 1 + 85 ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2
linarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 hpi_gt : 3 ≤ π h_num : 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 24128 / 57 * S ^ 2 ⊢ 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( π * h )
have h1 : ( 3 : ℝ ) * h ≤ Real.pi * h :=
mul_le_mul_of_nonneg_right hpi_gt hh_pos . le x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 hpi_gt : 3 ≤ π h_num : 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 24128 / 57 * S ^ 2 h1 : 3 * h ≤ π * h ⊢ 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( π * h )
have h2 : ( 7242 / 100 : ℝ ) ^ 2 ≤ ( L ^ 2 ) ^ 2 :=
sq_le_sq' ( by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 hpi_gt : 3 ≤ π h_num : 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 24128 / 57 * S ^ 2 h1 : 3 * h ≤ π * h ⊢ - L ^ 2 ≤ 7242 / 100 linarith All goals completed! 🐙 ) hL_sq x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 hpi_gt : 3 ≤ π h_num : 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 24128 / 57 * S ^ 2 h1 : 3 * h ≤ π * h h2 : ( 7242 / 100 ) ^ 2 ≤ ( L ^ 2 ) ^ 2 ⊢ 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( π * h )
have h3 : ( 24128 / 57 : ℝ ) * S ^ 2 ≤
( 8 / 100 : ℝ ) * S * L ^ 2 * ( ( 3 : ℝ ) * h ) := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 ⊢ 32 * ( 2 * 1 + 85 ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2
rw [ hh_def x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 hpi_gt : 3 ≤ π h_num : 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 24128 / 57 * S ^ 2 h1 : 3 * h ≤ π * h h2 : ( 7242 / 100 ) ^ 2 ≤ ( L ^ 2 ) ^ 2 ⊢ 24128 / 57 * S ^ 2 ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( 3 * ( 7 / 20 * S * L ^ 2 ) ) ] x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 hpi_gt : 3 ≤ π h_num : 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 24128 / 57 * S ^ 2 h1 : 3 * h ≤ π * h h2 : ( 7242 / 100 ) ^ 2 ≤ ( L ^ 2 ) ^ 2 ⊢ 24128 / 57 * S ^ 2 ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( 3 * ( 7 / 20 * S * L ^ 2 ) )
have h_diff :
( 8 / 100 : ℝ ) * S * L ^ 2 * ( ( 3 : ℝ ) * ( ( 7 / 20 : ℝ ) * S * L ^ 2 ) ) -
( 24128 / 57 : ℝ ) * S ^ 2 =
S ^ 2 * ( ( 21 / 250 : ℝ ) * ( L ^ 2 ) ^ 2 - 24128 / 57 ) := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 ⊢ 32 * ( 2 * 1 + 85 ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 ring x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 hpi_gt : 3 ≤ π h_num : 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 24128 / 57 * S ^ 2 h1 : 3 * h ≤ π * h h2 : ( 7242 / 100 ) ^ 2 ≤ ( L ^ 2 ) ^ 2 h_diff : 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( 3 * ( 7 / 20 * S * L ^ 2 ) ) - 24128 / 57 * S ^ 2 = S ^ 2 * ( 21 / 250 * ( L ^ 2 ) ^ 2 - 24128 / 57 ) ⊢ 24128 / 57 * S ^ 2 ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( 3 * ( 7 / 20 * S * L ^ 2 ) )
have : 0 ≤ S ^ 2 * ( ( 21 / 250 : ℝ ) * ( L ^ 2 ) ^ 2 - 24128 / 57 ) := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 ⊢ 32 * ( 2 * 1 + 85 ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2
have : 0 ≤ ( 21 / 250 : ℝ ) * ( L ^ 2 ) ^ 2 - 24128 / 57 := by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 ⊢ 32 * ( 2 * 1 + 85 ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 linarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 hpi_gt : 3 ≤ π h_num : 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 24128 / 57 * S ^ 2 h1 : 3 * h ≤ π * h h2 : ( 7242 / 100 ) ^ 2 ≤ ( L ^ 2 ) ^ 2 h_diff : 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( 3 * ( 7 / 20 * S * L ^ 2 ) ) - 24128 / 57 * S ^ 2 = S ^ 2 * ( 21 / 250 * ( L ^ 2 ) ^ 2 - 24128 / 57 ) this : 0 ≤ 21 / 250 * ( L ^ 2 ) ^ 2 - 24128 / 57 ⊢ 0 ≤ S ^ 2 * ( 21 / 250 * ( L ^ 2 ) ^ 2 - 24128 / 57 )
positivity x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 hpi_gt : 3 ≤ π h_num : 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 24128 / 57 * S ^ 2 h1 : 3 * h ≤ π * h h2 : ( 7242 / 100 ) ^ 2 ≤ ( L ^ 2 ) ^ 2 h_diff : 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( 3 * ( 7 / 20 * S * L ^ 2 ) ) - 24128 / 57 * S ^ 2 = S ^ 2 * ( 21 / 250 * ( L ^ 2 ) ^ 2 - 24128 / 57 ) this : 0 ≤ S ^ 2 * ( 21 / 250 * ( L ^ 2 ) ^ 2 - 24128 / 57 ) ⊢ 24128 / 57 * S ^ 2 ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( 3 * ( 7 / 20 * S * L ^ 2 ) )
linarith x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 hpi_gt : 3 ≤ π h_num : 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 24128 / 57 * S ^ 2 h1 : 3 * h ≤ π * h h2 : ( 7242 / 100 ) ^ 2 ≤ ( L ^ 2 ) ^ 2 h3 : 24128 / 57 * S ^ 2 ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( 3 * h ) ⊢ 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( π * h )
have h4 :
( 8 / 100 : ℝ ) * S * L ^ 2 * ( ( 3 : ℝ ) * h ) ≤
( 8 / 100 : ℝ ) * S * L ^ 2 * ( Real.pi * h ) :=
mul_le_mul_of_nonneg_left h1 ( by x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 hpi_gt : 3 ≤ π h_num : 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 24128 / 57 * S ^ 2 h1 : 3 * h ≤ π * h h2 : ( 7242 / 100 ) ^ 2 ≤ ( L ^ 2 ) ^ 2 h3 : 24128 / 57 * S ^ 2 ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( 3 * h ) ⊢ 0 ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 positivity All goals completed! 🐙 ) x : ℝ h : ℝ S : ℝ L : ℝ hS_pos : 0 < S hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hh_pos : 0 < h hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 hpi_gt : 3 ≤ π h_num : 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 24128 / 57 * S ^ 2 h1 : 3 * h ≤ π * h h2 : ( 7242 / 100 ) ^ 2 ≤ ( L ^ 2 ) ^ 2 h3 : 24128 / 57 * S ^ 2 ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( 3 * h ) h4 : 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( 3 * h ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( π * h ) ⊢ 32 * ( 2 * 1 + 85 ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 * ( π * h )
linarith All goals completed! 🐙
Main Large-x Inequality (x ≥ 5000) :
For all x ≥ 5000, the explicit parameters h = (7 / 20) * √x * (log x)^2 and
T = (3 / 2) * √x / log x satisfy 1 ≤ x - h, 0 < h, 6 ≤ T, and the full explicit bound
is at most (7 / 8) * √x * (log x)^2.
theorem explicit_rhs_le_seven_eighths_of_five_thousand_le
{ x : ℝ } ( hx : 5000 ≤ x ) :
let h := ( 7 / 20 : ℝ ) * Real.sqrt x * ( Real.log x ) ^ 2
let T := ( 3 / 2 : ℝ ) * Real.sqrt x / Real.log x
let a_rvM := ( 16 / 5 : ℝ )
let C := ( 11 / 5 : ℝ )
let D := ( 0 : ℝ )
let A := ( 1 : ℝ )
let B := ( 85 : ℝ )
( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + Real.log ( 2 * Real.pi ) +
Real.sqrt ( x + h ) *
( a_rvM / 2 * ( Real.log T ) ^ 2 + ( a_rvM + C ) * Real.log T + C + D / 6 -
a_rvM / 2 * ( Real.log 6 ) ^ 2 - C * Real.log 6 ) +
( 2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 : ℝ ) / h ) *
( ( 2 * a_rvM * Real.log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( Real.pi * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 : ℝ ) ≤
( 7 / 8 : ℝ ) * Real.sqrt x * ( Real.log x ) ^ 2 := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x ⊢ let h := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 ;
let T := 3 / 2 * √ x / log x ;
let a_rvM := 16 / 5 ;
let C := 11 / 5 ;
let D := 0 ;
let A := 1 ;
let B := 85 ;
( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * √ x * log x ^ 2
intro h T a_rvM C D A B x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 ⊢ ( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * √ x * log x ^ 2
set L : ℝ := Real.log x x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x ⊢ ( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * √ x * L ^ 2
set S : ℝ := Real.sqrt x x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x ⊢ ( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have hL : ( 851 / 100 : ℝ ) ≤ L := log_ge_851_div_100 hx x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L ⊢ ( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have hL_pos : 0 < L := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x ⊢ let h := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 ;
let T := 3 / 2 * √ x / log x ;
let a_rvM := 16 / 5 ;
let C := 11 / 5 ;
let D := 0 ;
let A := 1 ;
let B := 85 ;
( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * √ x * log x ^ 2 linarith x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L ⊢ ( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have hL_sq : ( 7242 / 100 : ℝ ) ≤ L ^ 2 := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x ⊢ let h := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 ;
let T := 3 / 2 * √ x / log x ;
let a_rvM := 16 / 5 ;
let C := 11 / 5 ;
let D := 0 ;
let A := 1 ;
let B := 85 ;
( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * √ x * log x ^ 2 nlinarith x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 ⊢ ( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have hS : ( 70 : ℝ ) ≤ S := sqrt_ge_seventy hx x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S ⊢ ( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have hS_pos : 0 < S := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x ⊢ let h := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 ;
let T := 3 / 2 * √ x / log x ;
let a_rvM := 16 / 5 ;
let C := 11 / 5 ;
let D := 0 ;
let A := 1 ;
let B := 85 ;
( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * √ x * log x ^ 2 linarith x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S ⊢ ( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have hS_sq : S ^ 2 = x := Real.sq_sqrt ( by x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S ⊢ 0 ≤ x linarith All goals completed! 🐙 ) x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x ⊢ ( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have hL2_le_S : L ^ 2 ≤ ( 20 / 19 : ℝ ) * S := sq_log_le_twenty_nineteenths_sqrt hx x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S ⊢ ( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have hh_def : h = ( 7 / 20 : ℝ ) * S * L ^ 2 := rfl x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 ⊢ ( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have hT_def : T = ( 3 / 2 : ℝ ) * S / L := rfl x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L ⊢ ( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have hh_pos : 0 < h := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x ⊢ let h := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 ;
let T := 3 / 2 * √ x / log x ;
let a_rvM := 16 / 5 ;
let C := 11 / 5 ;
let D := 0 ;
let A := 1 ;
let B := 85 ;
( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * √ x * log x ^ 2 rw [ hh_def x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L ⊢ 0 < 7 / 20 * S * L ^ 2 ] x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L ⊢ 0 < 7 / 20 * S * L ^ 2 ; positivity x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h ⊢ ( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have hh_le_x : h ≤ ( 7 / 19 : ℝ ) * x := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x ⊢ let h := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 ;
let T := 3 / 2 * √ x / log x ;
let a_rvM := 16 / 5 ;
let C := 11 / 5 ;
let D := 0 ;
let A := 1 ;
let B := 85 ;
( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * √ x * log x ^ 2
calc h = ( 7 / 20 : ℝ ) * S * L ^ 2 := hh_def
_ ≤ ( 7 / 20 : ℝ ) * S * ( ( 20 / 19 : ℝ ) * S ) := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h ⊢ 7 / 20 * S * L ^ 2 ≤ 7 / 20 * S * ( 20 / 19 * S ) nlinarith All goals completed! 🐙
_ = ( 7 / 19 : ℝ ) * S ^ 2 := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h ⊢ 7 / 20 * S * ( 20 / 19 * S ) = 7 / 19 * S ^ 2 ring All goals completed! 🐙
_ = ( 7 / 19 : ℝ ) * x := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h ⊢ 7 / 19 * S ^ 2 = 7 / 19 * x rw [ hS_sq x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h ⊢ 7 / 19 * x = 7 / 19 * x ] x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x ⊢ ( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have hx_sub_h : 1 ≤ x - h := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x ⊢ let h := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 ;
let T := 3 / 2 * √ x / log x ;
let a_rvM := 16 / 5 ;
let C := 11 / 5 ;
let D := 0 ;
let A := 1 ;
let B := 85 ;
( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * √ x * log x ^ 2 linarith x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hx_sub_h : 1 ≤ x - h ⊢ ( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have h6_le_T : 6 ≤ T := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x ⊢ let h := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 ;
let T := 3 / 2 * √ x / log x ;
let a_rvM := 16 / 5 ;
let C := 11 / 5 ;
let D := 0 ;
let A := 1 ;
let B := 85 ;
( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * √ x * log x ^ 2
rw [ hT_def , x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hx_sub_h : 1 ≤ x - h ⊢ 6 ≤ 3 / 2 * S / L le_div_iff₀ hL_pos x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hx_sub_h : 1 ≤ x - h ⊢ 6 * L ≤ 3 / 2 * S ] x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hx_sub_h : 1 ≤ x - h ⊢ 6 * L ≤ 3 / 2 * S
nlinarith x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hx_sub_h : 1 ≤ x - h h6_le_T : 6 ≤ T ⊢ ( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have hT_pos : 0 < T := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x ⊢ let h := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 ;
let T := 3 / 2 * √ x / log x ;
let a_rvM := 16 / 5 ;
let C := 11 / 5 ;
let D := 0 ;
let A := 1 ;
let B := 85 ;
( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * √ x * log x ^ 2 linarith x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hx_sub_h : 1 ≤ x - h h6_le_T : 6 ≤ T hT_pos : 0 < T ⊢ ( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
refine ⟨ ⟨ hx_sub_h , hh_pos , h6_le_T ⟩ , ? _ ⟩ x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hx_sub_h : 1 ≤ x - h h6_le_T : 6 ≤ T hT_pos : 0 < T ⊢ h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
obtain ⟨ h_sqrt_ge , h_sqrt_xh , h_rpow_32 , h_rpow_34 ⟩ :=
rpow_xh_bounds hx hS hS_sq hL_sq hh_def hh_le_x x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hx_sub_h : 1 ≤ x - h h6_le_T : 6 ≤ T hT_pos : 0 < T h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 ⊢ h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
obtain ⟨ h_logT_nonneg , h_logT_le , h_log6_ge ⟩ :=
log_T_and_six_bounds hL hS_pos ( Real.log_sqrt ( by x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hx_sub_h : 1 ≤ x - h h6_le_T : 6 ≤ T hT_pos : 0 < T h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 ⊢ 0 ≤ x linarith All goals completed! 🐙 ) ) h6_le_T hT_def x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hx_sub_h : 1 ≤ x - h h6_le_T : 6 ≤ T hT_pos : 0 < T h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 ⊢ h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have h_term1 : h / 2 = ( 7 / 40 : ℝ ) * S * L ^ 2 := by x : ℝ hx : 5000 ≤ x ⊢ let h := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 ;
let T := 3 / 2 * √ x / log x ;
let a_rvM := 16 / 5 ;
let C := 11 / 5 ;
let D := 0 ;
let A := 1 ;
let B := 85 ;
( 1 ≤ x - h ∧ 0 < h ∧ 6 ≤ T ) ∧
h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * √ x * log x ^ 2 rw [ hh_def x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hx_sub_h : 1 ≤ x - h h6_le_T : 6 ≤ T hT_pos : 0 < T h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 ⊢ 7 / 20 * S * L ^ 2 / 2 = 7 / 40 * S * L ^ 2 ] x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hx_sub_h : 1 ≤ x - h h6_le_T : 6 ≤ T hT_pos : 0 < T h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 ⊢ 7 / 20 * S * L ^ 2 / 2 = 7 / 40 * S * L ^ 2 ; ring x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hx_sub_h : 1 ≤ x - h h6_le_T : 6 ≤ T hT_pos : 0 < T h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 h_term1 : h / 2 = 7 / 40 * S * L ^ 2 ⊢ h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have h_term2 : Real.log ( 2 * Real.pi ) ≤ ( 1 / 500 : ℝ ) * S * L ^ 2 :=
term2_bound hS hL_sq x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hx_sub_h : 1 ≤ x - h h6_le_T : 6 ≤ T hT_pos : 0 < T h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 h_term1 : h / 2 = 7 / 40 * S * L ^ 2 h_term2 : log ( 2 * π ) ≤ 1 / 500 * S * L ^ 2 ⊢ h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have h_term34 := term3_add_term4_bound hS_pos hL hL_sq hh_pos hT_pos hh_def hT_def
h_sqrt_ge h_sqrt_xh h_rpow_32 h_logT_nonneg h_logT_le h_log6_ge x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hx_sub_h : 1 ≤ x - h h6_le_T : 6 ≤ T hT_pos : 0 < T h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 h_term1 : h / 2 = 7 / 40 * S * L ^ 2 h_term2 : log ( 2 * π ) ≤ 1 / 500 * S * L ^ 2 h_term34 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤
59 / 100 * S * L ^ 2 ⊢ h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
have h_term5 := term5_bound hS_pos hL_pos hL_sq hh_pos hh_def h_rpow_34 x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hx_sub_h : 1 ≤ x - h h6_le_T : 6 ≤ T hT_pos : 0 < T h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 h_term1 : h / 2 = 7 / 40 * S * L ^ 2 h_term2 : log ( 2 * π ) ≤ 1 / 500 * S * L ^ 2 h_term34 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤
59 / 100 * S * L ^ 2 h_term5 : 32 * ( 2 * 1 + 85 ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 ⊢ h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) * ( a_rvM / 2 * log T ^ 2 + ( a_rvM + C ) * log T + C + D / 6 - a_rvM / 2 * log 6 ^ 2 - C * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * a_rvM * log T + 2 * a_rvM + 2 * C ) / T + 2 * D / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * A + B ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
dsimp [ a_rvM , C , D , A , B ] x : ℝ hx : 5000 ≤ x h : ℝ := 7 / 20 * √ x * log x ^ 2 T : ℝ := 3 / 2 * √ x / log x a_rvM : ℝ := 16 / 5 C : ℝ := 11 / 5 D : ℝ := 0 A : ℝ := 1 B : ℝ := 85 L : ℝ := log x S : ℝ := √ x hL : 851 / 100 ≤ L hL_pos : 0 < L hL_sq : 7242 / 100 ≤ L ^ 2 hS : 70 ≤ S hS_pos : 0 < S hS_sq : S ^ 2 = x hL2_le_S : L ^ 2 ≤ 20 / 19 * S hh_def : h = 7 / 20 * S * L ^ 2 hT_def : T = 3 / 2 * S / L hh_pos : 0 < h hh_le_x : h ≤ 7 / 19 * x hx_sub_h : 1 ≤ x - h h6_le_T : 6 ≤ T hT_pos : 0 < T h_sqrt_ge : S ≤ √ ( x + h ) h_sqrt_xh : √ ( x + h ) ≤ 34 / 29 * S h_rpow_32 : ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) ≤ 161 / 100 * S ^ 3 h_rpow_34 : ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 26 / 171 * S ^ 2 h_logT_nonneg : 0 ≤ log T h_logT_le : log T ≤ L / 2 - 429 / 250 h_log6_ge : 89 / 50 ≤ log 6 h_term1 : h / 2 = 7 / 40 * S * L ^ 2 h_term2 : log ( 2 * π ) ≤ 1 / 500 * S * L ^ 2 h_term34 : √ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 - 11 / 5 * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) ≤
59 / 100 * S * L ^ 2 h_term5 : 32 * ( 2 * 1 + 85 ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤ 8 / 100 * S * L ^ 2 ⊢ h / 2 + log ( 2 * π ) +
√ ( x + h ) *
( 16 / 5 / 2 * log T ^ 2 + ( 16 / 5 + 11 / 5 ) * log T + 11 / 5 + 0 / 6 - 16 / 5 / 2 * log 6 ^ 2 -
11 / 5 * log 6 ) +
2 * ( x + h ) ^ ( 3 / 2 ) / h * ( ( 2 * ( 16 / 5 ) * log T + 2 * ( 16 / 5 ) + 2 * ( 11 / 5 ) ) / T + 2 * 0 / T ^ 2 ) +
32 * ( 2 * 1 + 85 ) / ( π * h ) * ( x + h ) ^ ( 3 / 4 ) ≤
7 / 8 * S * L ^ 2
linarith All goals completed! 🐙 end ConjectureMachines.Semantics.Riemann.ExplicitLarge